Álgebra lineal
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## Álgebra lineal

AuxiliaryUnitMatrix

      AuxiliaryUnitMatrix (n)

  Obtener la matriz auxiliar de tamaño `n`. Esto es una matriz cuadrada que es toda ceros excepto la superdiagonal, que son todos unos. Es la matriz de bloques de Jordan de un cero como valor propio.

  Consulte Planetmath o Mathworld para obtener más información sobre la forma canónica de Jordan.

BilinearForm

      BilinearForm (v,A,w)

  Evaluar (v,w) con respecto a la forma bilineal dada por la matriz A.

BilinearFormFunction

      BilinearFormFunction (A)

  Devolver una función que evalúa dos vectores con respecto a la forma bilineal dada por A.

CharacteristicPolynomial

      CharacteristicPolynomial (M)

  Alias: `CharPoly`

  Obtener el polinomio característico como un vector. Es decir, devuelve los coeficientes del polinomio empezando por el término constante. Este polinomio se define por `det(M-xI)`. Las raíces de este polinomio tienen como valor propio a `M`. Consulte CharacteristicPolynomialFunction.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

CharacteristicPolynomialFunction

      CharacteristicPolynomialFunction (M)

  Obtener el polinomio característico como una función. Es decir, el polinomio se define por `det(M-xI)`. Las raíces de este polinomio tienen un valor propio de `M`. Consulte CharacteristicPolynomial.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

ColumnSpace

      ColumnSpace (M)

  Obtener una matriz base para el espacio de la columna de una matriz. Es decir, devuelve una matriz la cual las columnas son las bases para el espacio de la columna `M`. Esto es el espacio generado por las columnas de `M`.

  Consulte la Wikipedia para obtener más información.

CommutationMatrix

      CommutationMatrix (m, n)

  Devolver la matriz de conmutación `K(m,n)` que es la única matriz `m*n` por `m*n` tal que `K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')` para todas las matrices `A` `m` por `n`.

CompanionMatrix

      CompanionMatrix (p)

  Matriz acompañante de un polinomio (como vector).

ConjugateTranspose

      ConjugateTranspose (M)

  Conjugada traspuesta de una matriz (adjunta). Es lo mismo que el operador `'`.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

Convolution

      Convolution (a,b)

  Alias: `convol`

  Calcular la convolución de dos vectores horizontales.

ConvolutionVector

      ConvolutionVector (a,b)

  Calcular la convolución de dos vectores horizontales. Devuelve el resultado como un vector y no se suman.

CrossProduct

      CrossProduct (v,w)

  Producto cruzado de dos vectores en R3 como un vector columna.

  Consulte la Wikipedia para obtener más información.

DeterminantalDivisorsInteger

      DeterminantalDivisorsInteger (M)

  Obtiene determinantes divisores de una matriz de enteros.

DirectSum

      DirectSum (M,N...)

  Suma directa de matrices.

  Consulte la Wikipedia para obtener más información.

DirectSumMatrixVector

      DirectSumMatrixVector (v)

  Suma directa de un vector de matrices.

  Consulte la Wikipedia para obtener más información.

Eigenvalues

      Eigenvalues (M)

  Alias: `eig`

  Obtener los valores propios de una matriz cuadrada. En la actualidad solo funciona con matrices de tamaño 4 por 4 como máximo, o para matrices triangulares (cuyo valores propios están en la diagonal).

  Consulte la Wikipedia, Planetmath, o Mathworld para obtener más información.

Eigenvectors

      Eigenvectors (M)

      Eigenvectors (M, &eigenvalues)

      Eigenvectors (M, &eigenvalues, &multiplicities)

  Obtener los autovectores de una matriz cuadrada. Opcionalmente, obtener los autovalores y su multiplicidad algebraica. Actualmente funciona sólo para matrices de hasta 2x2.

  Consulte la Wikipedia, Planetmath, o Mathworld para obtener más información.

GramSchmidt

      GramSchmidt (v,B...)

  Aplicar el proceso de Gram-Schmidt (a las columnas) con respecto al propio producto dado por `B`. Si `B` no se da, entonces se utiliza el producto Hermitiano estándar. `B` también puede ser una función sesquilineal de dos argumentos o puede ser una matriz que devuelve una forma sesquilineal. Los vectores serán ortonormales con respecto a `B`.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

HankelMatrix

      HankelMatrix (c,r)

  La matriz de Hankel es una matriz cuyas diagonales (de izquierda a derecha) son constantes. La primera fila es `c` y la última colúmna es `r`. Se considera que ambos argumentos son vectores y que el último elemento de la fila `c` es el mismo que el primer elemento de la columna `r`.

  Consulte la Wikipedia para obtener más información.

HilbertMatrix

      HilbertMatrix (n)

  Matriz de Hilbert de orden `n`.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

Image

      Image (T)

  Obtener la imagen (espacio columna) de una transformación lineal.

  Consulte la Wikipedia para obtener más información.

InfNorm

      InfNorm (v)

  Obtener el operador norma de un vector, a veces también se denomina norma suprema o norma máxima.

InvariantFactorsInteger

      InvariantFactorsInteger (M)

  Obtiene los factores invariantes de una matriz cuadrada de enteros.

InverseHilbertMatrix

      InverseHilbertMatrix (n)

  Matriz inversa de Hilbert de orden `n`.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

IsHermitian

      IsHermitian (M)

  Es una matriz Hermitian. Es decir, es igual a su traspuesta conjugada.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

IsInSubspace

      IsInSubspace (v,W)

  Comprueba si un vector está en un subespacio.

IsInvertible

      IsInvertible (n)

  Es una matriz (o número) invertible (La matriz de enteros es invertible si, y sólo si esta es invertible sobre los enteros).

IsInvertibleField

      IsInvertibleField (n)

  Es una matriz (o un número) inversible sobre un campo.

IsNormal

      IsNormal (M)

  Indica que `M` es una matriz normal. Es decir, realiza `M*M' == M'*M`.

  Consulte Planetmath o Mathworld para obtener más información.

IsPositiveDefinite

      IsPositiveDefinite (M)

  Indica que `M` es una matriz definida positiva Hermitiana. Esto es si `HermitianProduct(M*v,v)` es siempre estrictamente positivo para cualquier vector `v`. `M` será cuadrada y Hermitiana para ser definida positiva. La comprobación de que se lleva a cabo es que cada submatriz principal tiene un determinante no negativo. (Consulte HermitianProduct)

  Tenga en cuenta que algunos autores (por ejemplo Mathworld) no requieren que `M` sea Hermitiana, y entonces la condición está en la parte real del propio producto, pero aquí no se compartirá este punto de vista. Si quiere comprobarlo, hacer sólo la parte Hermitiana de la matriz `M` como sigue: `IsPositiveDefinite(M+M')`.

  Consulte la Wikipedia, Planetmath, o Mathworld para obtener más información.

IsPositiveSemidefinite

      IsPositiveSemidefinite (M)

  Indica si `M` es una matriz semidefinida positiva Hermitiana. Esto es si `HermitianProduct(M*v,v)` es siempre no negativo para cualquier vector `v`. `M` será cuadrada y Hermitiana para ser semidefinida positiva. La comprobación que se lleva a cabo es que cada submatriz principal tenga un determinante no negativo. (Consulte HermitianProduct)

  Tenga en cuenta que algunos autores no requieren que `M` sea Hermitiana, y entonces la condición está en la parte real del propio producto, pero aquí no se compartirá este punto de vista. Si quiere comprobarlo, hacer sólo la parte Hermitiana de la matriz `M` como sigue: `IsPositiveSemidefinite(M+M')`.

  Consulte Planetmath o Mathworld para obtener más información.

IsSkewHermitian

      IsSkewHermitian (M)

  Es matriz antihermítica. Esto es, la transposición conjugada es igual al negativo de la matriz.

  Consulte Planetmath para obtener más información.

IsUnitary

      IsUnitary (M)

  ¿Es una matriz unitaria?. Esto es, hacer `M'*M` y `M*M'` igual a la identidad.

  Consulte Planetmath o Mathworld para obtener más información.

JordanBlock

      JordanBlock (n,lambda)

  Alias: `J`

  Obtener el bloque de Jordan correspondiente al valor propio `lambda` con multiplicidad `n`.

  Consulte Planetmath o Mathworld para obtener más información.

Kernel

      Kernel (T)

  Obtener el núcleo (espacio nulo) de una trasformación lineal.

  (Consulte NullSpace)

KroneckerProduct

      KroneckerProduct (M, N)

  Alias: `TensorProduct`

  Calcula el producto de Kronecker (producto tensorial en base estándar) de dos matrices.

  Consulte la Wikipedia, Planetmath o Mathworld para obtener más información.

  Desde la versión 1.0.18 en adelante.

LUDecomposition

      LUDecomposition (A, L, U)

  Get the LU decomposition of `A`, that is find a lower triangular matrix and upper triangular matrix whose product is `A`. Store the result in the `L` and `U`, which should be references. It returns `true` if successful. For example suppose that A is a square matrix, then after running:

      genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

  You will have the lower matrix stored in a variable called `L` and the upper matrix in a variable called `U`.

  Esto es la descomposición de LU de una matriz también conocido como Crout y/o reducción de Cholesky. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) La matriz triangular superior cuenta con una diagonal de valores 1 (uno). Esto no es el método de Doolittle en las que los unos de la diagonal están sobre la matriz inferior.

  No todas las matrices tienen la descomposición de LU, por ejemplo `[0,1;1,0]` no lo hace y esta función devuelve `false` en este caso, y establece `L` y `U` a `null`.

  Consulte la Wikipedia, Planetmath o Mathworld para obtener más información.

Minor

      Minor (M,i,j)

  Obtener el menor `i`-`j` de una matriz.

  Consulte Planetmath para obtener más información.

NonPivotColumns

      NonPivotColumns (M)

  Devolver las columnas que no son las columnas pivotes de una matriz.

Norm

      Norm (v,p...)

  Alias: `norm`

  Obtener la norma p (o 2 normas si no se suministra p) de un vector.

NullSpace

      NullSpace (T)

  Obtener el espacio nulo de una matriz. Ese es el núcleo de la aplicación lineal que representa la matriz. Esto se devuelve como una matriz cuyo espacio de columna es el espacio nulo de `T`.

  Consulte Planetmath para obtener más información.

Nullity

      Nullity (M)

  Alias: `nullity`

  Obtener la nulidad de una matriz. Es decir, devuelve la dimensión del espacio nulo; la dimensión del núcleo de `M`.

  Consulte Planetmath para obtener más información.

OrthogonalComplement

      OrthogonalComplement (M)

  Obtener el complemento ortogonal del espacio de columnas.

PivotColumns

      PivotColumns (M)

  Devuelve las columnas pivote de una matriz, que son columnas que tienen un 1 en la fila forma reducida. También devuelve la fila en la que se producen.

Projection

      Projection (v,W,B...)

  Proyección del vector `v` sobre el sub-espacio `W` con respecto al propio producto dado por `B`. Si `B` no se da, entonces se usa el producto estándar Hermitiano. `B` puede también ser una función sesquilineal de dos argumentos o puede ser una matriz que devuelve una forma sesquilineal.

QRDecomposition

      QRDecomposition (A, Q)

  Get the QR decomposition of a square matrix `A`, returns the upper triangular matrix `R` and sets `Q` to the orthogonal (unitary) matrix. `Q` should be a reference or `null` if you don't want any return. For example:

      genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

  You will have the upper triangular matrix stored in a variable called `R` and the orthogonal (unitary) matrix stored in `Q`.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath o Mathworld para obtener más información.

RayleighQuotient

      RayleighQuotient (A,x)

  Devuelve el cociente de Rayleigh (también llamado el cociente de Rayleigh-Ritz o ratio) de una matriz y un vector.

  Consulte Planetmath para obtener más información.

RayleighQuotientIteration

      RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)

  Buscar valores propios de `A` utilizando el método de iteración de cociente de Rayleigh. `x` es una conjetura en un vector propio que será aleatoria. Esto tendrá una parte imaginaria no nula si es posible encontrar valores propios complejos. El código ejecutará en la mayoría de las interacciones `maxiter` y devuelve `null` si no se puede obtener un error de `epsilon`. `vecref` será o bién un `null` o una referencia a una variable donde se guarde el vector propio.

  Conuslte Planetmath para obtener más información sobre el cociente de Rayleigh.

Rank

      Rank (M)

  Alias: `rank`

  Obtener el rango de una matriz.

  Consulte Planetmath para obtener más información.

RosserMatrix

      RosserMatrix ()

  Devolver la matriz de Rosser, que es un problemático y clásico test simétrico de valores propios.

Rotation2D

      Rotation2D (ángulo)

  Alias: `RotationMatrix`

  Devolver la matriz correspondiente a la rotación alrededor del origen en R2.

Rotation3DX

      Rotation3DX (ángulo)

  Devuelve la matriz correspondiente a la rotación alrededor del origen en R3 sobre el eje x.

Rotation3DY

      Rotation3DY (ángulo)

  Devolver la matriz correspondiente a la rotación alrededor del origen en R3 sobre el eje Y.

Rotation3DZ

      Rotation3DZ (ángulo)

  Devolver la matriz correspondiente a la rotación alrededor del origen en R3 sobre el eje Z.

RowSpace

      RowSpace (M)

  Obtener una matriz base para el espacio de filas de una matriz.

SesquilinearForm

      SesquilinearForm (v,A,w)

  Evaluar (v,w) con respecto a la forma sesquilineal dada por la matriz A.

SesquilinearFormFunction

      SesquilinearFormFunction (A)

  Devolver una función que evalúa dos vectores con respecto a la forma sesquilineal dada por A.

SmithNormalFormField

      SmithNormalFormField (A)

  Devuelve la forma normal de Smith de una matriz sobre los campos (terminará con unos en la diagonal).

  Consulte la Wikipedia para obtener más información.

SmithNormalFormInteger

      SmithNormalFormInteger (M)

  Devuelve la forma normal de Smith para matrices cuadradas sobre enteros.

  Consulte la Wikipedia para obtener más información.

SolveLinearSystem

      SolveLinearSystem (M,V,args...)

  Resuelve el sistema lineal Mx=V, devuelve la solución V si hay una única solución y `null` en cualquier otro caso. Opcionalmente, se pueden usar dos parámetros de referencia para obtener M y V reducidos.

ToeplitzMatrix

      ToeplitzMatrix (c, r...)

  Return the Toeplitz matrix constructed given the first column c and (optionally) the first row r. If only the column c is given then it is conjugated and the nonconjugated version is used for the first row to give a Hermitian matrix (if the first element is real).

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

Trace

      Trace (M)

  Alias: `trace`

  Calcular la traza de una matriz. Esto es la suma de sus elementos diagonales.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

Transpose

      Transpose (M)

  Traspuesta de una matriz. Es lo mismo que el operador `.'`.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

VandermondeMatrix

      VandermondeMatrix (v)

  Alias: `vander`

  Devuelve la matriz de Vandermonde.

  Consulte la Wikipedia para obtener más información.

VectorAngle

      VectorAngle (v,w,B...)

  El ángulo de dos vectores con respecto al propio producto viene dado por `B`. Si no se da `B`, entonces se usará el producto estándar Hermitiano. `B` puede ser una función sesquilineal de dos argumentos o bien, una matriz que devuelve una forma sesquilineal.

VectorSpaceDirectSum

      VectorSpaceDirectSum (M,N)

  Suma directa de los espacios vectoriales M y N.

VectorSubspaceIntersection

      VectorSubspaceIntersection (M,N)

  Intersección de subespacios dados por M y N.

VectorSubspaceSum

      VectorSubspaceSum (M,N)

  La suma de los espacios vectoriales M y N, esto es {w | w=m+n, m en M, n en N}.

adj

      adj (m)

  Alias: `Adjugate`

  Obtener el adjunto clásico de una matriz.

cref

      cref (M)

  Aliases: `CREF` `ColumnReducedEchelonForm`

  Calcular la forma en escalón reducida por columnas.

det

      det (M)

  Alias: `Determinant`

  Obtener el determinante de una matriz.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

ref

      ref (M)

  Aliases: `REF` `RowEchelonForm`

  Obtener la matriz escalonada por fila. Es decir, aplicar la eliminación gausiana pero no hacer la reducción a `M`. Las filas pivote están divididas para que todos los pivotes sean 1.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

rref

      rref (M)

  Aliases: `RREF` `ReducedRowEchelonForm`

  Obtener la matriz escalonada reducida por filas. Es decir, aplicar la eliminación gausiana junto con la reducción a `M`.

  Consulte la Wikipedia o Planetmath para obtener más información.

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