Algèbre linéaire
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## Algèbre linéaire

AuxiliaryUnitMatrix

      AuxiliaryUnitMatrix (n)

  Get the auxiliary unit matrix of size `n`. This is a square matrix with that is all zero except the superdiagonal being all ones. It is the Jordan block matrix of one zero eigenvalue.

  See Planetmath or Mathworld for more information on Jordan Canonical Form.

BilinearForm

      BilinearForm (v,A,w)

  Évalue (v,w) par rapport à la forme bilinéaire donnée par la matrice A.

BilinearFormFunction

      BilinearFormFunction (A)

  Renvoie une fonction qui évalue deux vecteurs par rapport à la forme bilinéaire donnée par A.

CharacteristicPolynomial

      CharacteristicPolynomial (M)

  Alias : `CharPoly`

  Renvoie le polynôme caractéristique d'un vecteur. C'est-à-dire renvoie les coefficients du polynôme en commençant par le terme constant. Ce polynôme est défini par `det(M-xI)`. Les racines de ce polynôme sont les valeurs propres de `M`. Consultez également CharacteristicPolynomialFunction.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

CharacteristicPolynomialFunction

      CharacteristicPolynomialFunction (M)

  Renvoie le polynôme caractéristique d'un vecteur sous la forme d'une fonction. Ce polynôme est défini par `det(M-xI)`. Les racines de ce polynôme sont les valeurs propres de `M`. Consultez également CharacteristicPolynomial.

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ColumnSpace

      ColumnSpace (M)

  Renvoie une matrice de base pour le sous-espace vectoriel d'une matrice. C'est-à-dire renvoie une matrice dont les colonnes forment une base pour le sous-espace vectoriel de `M`, donc l'espace engendré par les colonnes de `M`.

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CommutationMatrix

      CommutationMatrix (m, n)

  Return the commutation matrix `K(m,n)`, which is the unique `m*n` by `m*n` matrix such that `K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')` for all `m` by `n` matrices `A`.

CompanionMatrix

      CompanionMatrix (p)

  Matrice compagnon d'un polynôme (comme vecteur).

ConjugateTranspose

      ConjugateTranspose (M)

  Transposée conjuguée d'une matrice (matrice adjointe). Identique à l'opérateur `'`.

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Convolution

      Convolution (a,b)

  Alias : `convol`

  Calcule la convolution de deux vecteurs horizontaux.

ConvolutionVector

      ConvolutionVector (a,b)

  Calcule la convolution de deux vecteurs horizontaux. Renvoie le résultat sous la forme d'un vecteur dont les composants ne sont pas additionnées ensemble.

CrossProduct

      CrossProduct (v,w)

  Produit vectoriel de deux vecteurs dans R3 sous la forme d'un vecteur colonne.

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DeterminantalDivisorsInteger

      DeterminantalDivisorsInteger (M)

  Get the determinantal divisors of an integer matrix.

DirectSum

      DirectSum (M,N...)

  Somme directe de matrices.

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DirectSumMatrixVector

      DirectSumMatrixVector (v)

  Somme directe d'un vecteur de matrices.

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Eigenvalues

      Eigenvalues (M)

  Alias : `eig`

  Renvoie les valeurs propres d'une matrice carrée. Ne fonctionne actuellement que pour les matrices de taille inférieure ou égale à 4 par 4 ou pour les matrices triangulaires (pour lesquelles les valeurs propres sont sur la diagonale).

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Eigenvectors

      Eigenvectors (M)

      Eigenvectors (M, &valeurspropres)

      Eigenvectors (M, &valeurpropres, &multiplicités)

  Renvoie les vecteurs propres d'une matrice carrée. Il est possible en option d'obtenir les valeurs propres ainsi que leur multiplicité algébrique. Ne fonctionne actuellement que pour les matrices 2x2.

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GramSchmidt

      GramSchmidt (v,B...)

  Applique le procédé de Gram-Schmidt (aux colonnes) par rapport au produit scalaire donné par `B`. Si `B` n'est pas fourni alors le produit hermitien standard est utilisé. `B` peut être soit une forme sesquilinéaire à deux arguments soit une matrice fournissant une forme sesquilinéaire. Les vecteurs seront orthogonaux par rapport à `B`.

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HankelMatrix

      HankelMatrix (c,r)

  Hankel matrix, a matrix whose skew-diagonals are constant. `c` is the first row and `r` is the last column. It is assumed that both arguments are vectors and the last element of `c` is the same as the first element of `r`.

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HilbertMatrix

      HilbertMatrix (n)

  Matrice de Hilbert d'ordre `n`.

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Image

      Image (T)

  Renvoie l'image (espace vectoriel engendré par les colonnes) d'une transformation linéaire.

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InfNorm

      InfNorm (v)

  Renvoie la norme « infini », appelée aussi norme sup, ou encore norme de la convergence uniforme.

InvariantFactorsInteger

      InvariantFactorsInteger (M)

  Get the invariant factors of a square integer matrix.

InverseHilbertMatrix

      InverseHilbertMatrix (n)

  Matrice inverse de Hilbert d'ordre `n`.

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IsHermitian

      IsHermitian (M)

  Indique si une matrice est hermitienne. C'est-à-dire si elle est égale à sa transposée conjuguée.

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IsInSubspace

      IsInSubspace (v,W)

  Teste si un vecteur appartient à un sous-espace.

IsInvertible

      IsInvertible (n)

  Is a matrix (or number) invertible (Integer matrix is invertible if and only if it is invertible over the integers).

IsInvertibleField

      IsInvertibleField (n)

  Indique si une matrice (ou un nombre) est inversible sur un corps.

IsNormal

      IsNormal (M)

  Indique si `M` est une matrice normale, c'est-à-dire `M*M' == M'*M`.

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IsPositiveDefinite

      IsPositiveDefinite (M)

  Indique si `M` est une matrice hermitienne définie positive. C'est-à-dire si `HermitianProduct(M*v,v)` est toujours strictement positif pour tout vecteur `v`. `M` doit être carré et hermitienne pour être définie positive. Le contrôle effectué est que le déterminant de chaque sous-matrice principale n'est pas négatif (consultez HermitianProduct).

  Notez que certains auteurs (par exemple Mathworld) n'exigent pas que `M` soit hermitienne, ainsi la condition porte sur la partie réelle du produit scalaire mais ce n'est pas le cas de Genius. Si vous souhaitez réaliser ce type de contrôle, vérifiez seulement la partie hermitienne de la matrice `M` comme ceci : `IsPositiveDefinite(M+M')`.

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IsPositiveSemidefinite

      IsPositiveSemidefinite (M)

  Indique si `M` est une matrice hermitienne semi-définie positive. C'est-à-dire si `HermitianProduct(M*v,v)` est toujours non négatif pour tout vecteur `v`. `M` doit être carré et hermitienne pour être semi-définie positive. Le contrôle effectué est que le déterminant de chaque sous-matrice principale n'est pas négatif (consultez HermitianProduct).

  Notez que certains auteurs n'exigent pas que `M` soit hermitienne, ainsi la condition porte sur la partie réelle du produit scalaire mais ce n'est pas le cas de Genius. Si vous souhaitez réaliser ce type de contrôle, vérifiez seulement la partie hermitienne de la matrice `M` comme ceci : `IsPositiveSemiDefinite(M+M')`.

  See Planetmath or Mathworld for more information.

IsSkewHermitian

      IsSkewHermitian (M)

  Indique si une matrice est anti-hermitienne. C'est-à-dire si sa transposée conjuguée est égale à l'opposée de la matrice.

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IsUnitary

      IsUnitary (M)

  Indique si une matrice est unitaire. C'est-à-dire si `M'*M` et `M*M'` sont égaux à l'identité.

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JordanBlock

      JordanBlock (n,lambda)

  Alias : `J`

  Renvoie le bloc de Jordan correspondant à la valeur propre `lambda` de multiplicité `n`.

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Kernel

      Kernel (T)

  Renvoie le noyau d'une transformation linéaire.

  (consultez NullSpace)

KroneckerProduct

      KroneckerProduct (M, N)

  Aliases: `TensorProduct`

  Compute the Kronecker product (tensor product in standard basis) of two matrices.

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  Version 1.0.18 onwards.

LUDecomposition

      LUDecomposition (A, L, U)

  Get the LU decomposition of `A`, that is find a lower triangular matrix and upper triangular matrix whose product is `A`. Store the result in the `L` and `U`, which should be references. It returns `true` if successful. For example suppose that A is a square matrix, then after running:

      genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

  You will have the lower matrix stored in a variable called `L` and the upper matrix in a variable called `U`.

  This is the LU decomposition of a matrix aka Crout and/or Cholesky reduction. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) The upper triangular matrix features a diagonal of values 1 (one). This is not Doolittle's Method, which features the 1's diagonal on the lower matrix.

  Toutes les matrices ne possèdent pas de décomposition LU, par exemple `[0,1;1,0]` n'en a pas. Dans ce cas, cette fonction renvoie `false` (faux) et initialise `L` et `U` à `null`.

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Minor

      Minor (M,i,j)

  Renvoie le mineur `i`-`j` d'une matrice.

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NonPivotColumns

      NonPivotColumns (M)

  Renvoie les colonnes qui ne sont pas les colonnes pivot d'une matrice.

Norm

      Norm (v,p...)

  Alias : `norm`

  Renvoie la norme-p d'un vecteur (ou norme-2 si p n'est pas fourni).

NullSpace

      NullSpace (T)

  Renvoie le noyau d'une matrice. C'est-à-dire le noyau de l'application linéaire que la matrice représente sous la forme d'une matrice dont l'espace des colonnes est le noyau de `T`.

  See Planetmath for more information.

Nullity

      Nullity (M)

  Alias : `nullity`

  Renvoie la dimension du noyau de la matrice `M`.

  See Planetmath for more information.

OrthogonalComplement

      OrthogonalComplement (M)

  Renvoie le complément orthogonal de l'espace des colonnes.

PivotColumns

      PivotColumns (M)

  Return pivot columns of a matrix, that is columns that have a leading 1 in row reduced form. Also returns the row where they occur.

Projection

      Projection (v,W,B...)

  Projection du vecteur `v` sur le sous-espace `W` par rapport au produit scalaire donné par `B`. Si `B` n'est pas fourni alors le produit hermitien standard est utilisé. `B` peut être soit une forme sesquilinéaire à deux arguments soit une matrice fournissant une forme sesquilinéaire.

QRDecomposition

      QRDecomposition (A, Q)

  Get the QR decomposition of a square matrix `A`, returns the upper triangular matrix `R` and sets `Q` to the orthogonal (unitary) matrix. `Q` should be a reference or `null` if you don't want any return. For example:

      genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

  You will have the upper triangular matrix stored in a variable called `R` and the orthogonal (unitary) matrix stored in `Q`.

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RayleighQuotient

      RayleighQuotient (A,x)

  Renvoie le quotient de Rayleigh (aussi appelé le quotient ou rapport de Rayleigh-Ritz) d'une matrice et d'un vecteur.

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RayleighQuotientIteration

      RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)

  Cherche les valeurs propres de `A` en utilisant la méthode itérative du quotient de Rayleigh. `x` est une valeur initiale estimée pour un vecteur propre et peut être tirée au hasard. Si vous voulez avoir une chance de trouver des valeurs propres complexes, la partie imaginaire ne doit pas être nulle. Le programme effectue au maximum `maxiter` itérations et renvoie `null` s'il ne peut trouver une solution avec une précision inférieure à `epsilon`. `vecref` doit être soit `null` ou une référence à une variable dans laquelle le vecteur propre est enregistré.

  See Planetmath for more information on Rayleigh quotient.

Rank

      Rank (M)

  Alias : `rank`

  Renvoie le rang d'une matrice.

  See Planetmath for more information.

RosserMatrix

      RosserMatrix ()

  Returns the Rosser matrix, which is a classic symmetric eigenvalue test problem.

Rotation2D

      Rotation2D (angle)

  Alias : `RotationMatrix`

  Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R2.

Rotation3DX

      Rotation3DX (angle)

  Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R3 autour de l'axe des x.

Rotation3DY

      Rotation3DY (angle)

  Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R3 autour de l'axe des y.

Rotation3DZ

      Rotation3DZ (angle)

  Renvoie la matrice correspondant à la rotation centrée sur l'origine dans R3 autour de l'axe des z.

RowSpace

      RowSpace (M)

  Renvoie une matrice de base pour l'espace vectoriel engendré par les lignes d'une matrice.

SesquilinearForm

      SesquilinearForm (v,A,w)

  Évalue (v, w) par rapport à la forme sesquilinéaire donnée par la matrice A.

SesquilinearFormFunction

      SesquilinearFormFunction (A)

  Renvoie une fonction qui évalue deux vecteurs par rapport à la forme sesquilinéaire donnée par A.

SmithNormalFormField

      SmithNormalFormField (A)

  Returns the Smith normal form of a matrix over fields (will end up with 1's on the diagonal).

  See Wikipedia for more information.

SmithNormalFormInteger

      SmithNormalFormInteger (M)

  Return the Smith normal form for square integer matrices over integers.

  See Wikipedia for more information.

SolveLinearSystem

      SolveLinearSystem (M,V,params...)

  Résout le système linéaire Mx=V, renvoie V s'il y a une solution unique ou `null` sinon. Deux références d'arguments supplémentaires peuvent être utilisés pour recevoir les réductions de M et V.

ToeplitzMatrix

      ToeplitzMatrix (c, r...)

  Return the Toeplitz matrix constructed given the first column c and (optionally) the first row r. If only the column c is given then it is conjugated and the nonconjugated version is used for the first row to give a Hermitian matrix (if the first element is real).

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

Trace

      Trace (M)

  Alias : `trace`

  Calcule la trace d'une matrice, c'est-à-dire la somme des éléments diagonaux.

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Transpose

      Transpose (M)

  Matrice transposée. C'est identique à l'opérateur `.'`

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

VandermondeMatrix

      VandermondeMatrix (v)

  Alias : `vander`

  Renvoie la matrice de Vandermonde.

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VectorAngle

      VectorAngle (v,w,B...)

  L'angle entre deux vecteurs par rapport au produit scalaire donné par `B`. Si `B` n'est pas fourni alors le produit hermitien standard est utilisé. `B` peut être soit une forme sesquilinéaire à deux arguments soit une matrice fournissant une forme sesquilinéaire.

VectorSpaceDirectSum

      VectorSpaceDirectSum (M,N)

  Somme directe des espaces vectoriels M et N.

VectorSubspaceIntersection

      VectorSubspaceIntersection (M,N)

  Intersection des sous-espaces donnés par M et N.

VectorSubspaceSum

      VectorSubspaceSum (M,N)

  Somme des espaces vectoriels M et N, c'est-à-dire {w | w=m+n, m dans M, n dans N}.

adj

      adj (m)

  Alias : `Adjugate`

  Renvoie la matrice adjointe d'une matrice.

cref

      cref (M)

  Aliases: `CREF` `ColumnReducedEchelonForm`

  Calcule la forme échelonnée réduite en colonnes.

det

      det (M)

  Alias : `Determinant`

  Renvoie le déterminant d'une matrice.

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ref

      ref (M)

  Aliases: `REF` `RowEchelonForm`

  Renvoie la matrice échelonnée en lignes (row echelon) d'une matrice. C'est-à-dire effectue une élimination de Gauss de `M`. Les lignes de pivot sont divisées pour que tous les pivots soient égaux à 1.

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rref

      rref (M)

  Aliases: `RREF` `ReducedRowEchelonForm`

  Renvoie la matrice échelonnée réduite en lignes (reduced row echelon) d'une matrice. C'est-à-dire effectue une élimination de Gauss-Jordan de `M`.

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